Influences of Preload Methods on Internal Mechanical Characteristics of Angular Contact Ball Bearings under Elastohydrodynamic Lubrication
-
摘要: 油膜厚度预测在评估弹流润滑(EHL)下角接触球轴承的性能和耐久性方面发挥着重要的作用. 耦合拟静力学理论和自旋下椭圆接触弹流模型，以干接触角接触球轴承拟静力学分析方法为基础，建立了定压和定位预紧方式下考虑弹流润滑和钢球自旋运动的角接触球轴承的拟静力学分析模型. 采用快速傅里叶变换(FFT)计算椭圆接触的弹性变形，运用Gauss-Seidel迭代方法求解Reynolds方程，得到自旋弹流模型的完全数值解，将其代入轴承拟静力学模型中迭代，得到轴承内部接触载荷、三维接触压力及三维膜厚分布. 对采用不同预紧方式的SKF7210型角接触球轴承进行分析，结果表明：富油润滑下，当轴承转速从0增大到15 000 r/min时，定压预紧时内圈轴向位移减小17.83%，而定位预紧时内圈承受的轴向载荷增大23.17%；定压预紧方式下球与内外滚道间膜厚均略大于定位预紧. 此外，不同预紧方式下，外圈上的中心膜厚大于内圈10%. 与干接触相比，定压下考虑弹流润滑内圈上接触载荷略大0.64%.Abstract: The oil film thickness prediction plays an important role in evaluating the performance and durability of angular contact ball bearings (ACBB) under elastohydrodynamic lubrication (EHL). Coupling the quasi-static theory and the elliptical contact EHL model with spinning, based on the quasi-static analysis methods of dry contact, a quasi-static analysis model of ACBB considering EHL and spin motion of steel ball was established under constant and rigid preload methods. The Fast Fourier Transform (FFT) method was used to calculate the elastic deformation for elliptical contact. Then Gauss-Seidel iteration method was used to solve the Reynolds equation, and the completely numerical solution of the spinning EHL model was obtained, which was substituted into the bearing quasi-static model iteratively. As a result, the bearing internal contact load, three-dimensional (3D) contact pressure and 3D film thickness distribution were obtained. The analysis of SKF7210 ACBB under different preload methods shows: under flooded lubrication condition, when the bearing speed increased from 0 to 15000 r/min, the axial displacement of the inner ring decreased by 17.83% under constant force preload, while the axial load on the inner ring increased by 23.17% under fixed position preload. The film thickness between the ball and the inner and outer raceways with constant preload was slightly larger than that with fixed position preload. In addition, the central film thickness on the outer ring was 10% greater than that on the inner ring under different preload methods. Moreover, the contact load considering EHL under constant force preload was slightly larger than that of dry contact by 0.64%.
-
随着我国航空航天技术的飞速发展，航空发动机主轴用角接触球轴承内径d与转速n的乘积d·n值已达到3×106 mm·r/min以上[1]. 合适的轴向预紧可提高角接触球轴承旋转精度和轴向刚度，降低球的自旋运动，润滑能够散热并减小摩擦[2-4]，从而延长轴承的使用寿命[5]. 在滚动轴承运转过程中，球与内外滚道接触区域内通常处于弹流润滑状态. 1984年，Gupta等[6]提出的动力学主要优点在于可以分析时变的动态性能，而计算接触载荷、变形、膜厚及摩擦牵引力则主要基于经验公式. 2020年，Bal和Aktürk[7]在角接触球轴承拟静力学模型中考虑弹流润滑，利用Hamrock-Dowson (H&D)[8]膜厚经验公式计算中心膜厚，将中心膜厚叠加至干接触弹性变形上得到弹流润滑下的刚体中心位移，但计算接触载荷时依旧利用Hertz接触刚度，未考虑油膜刚度的影响. 一方面，以上文献考虑弹流润滑都只是在弹性变形上叠加H&D经验公式，而叠加油膜作用后会改变轴承内部几何变形关系及载荷分布，而载荷又进一步影响膜厚值. 另一方面，H&D经验公式并未考虑角接触球轴承中球的自旋运动对润滑膜厚的影响. 孙浩洋等[9]提出高速重载下膜厚数值解是H&D经验公式的2~4倍. 郭凯等[10]、吴明星等[11]和Lei等[12]拟合了考虑自旋下的刚体中心膜厚经验公式，将其耦合到角接触球轴承拟静力学中迭代求解，但拟合工况的范围有限，高速下最小膜厚经验公式误差超过20%. 因此，目前综合考虑弹流润滑下角接触球轴承的力学模型并不完善.
角接触球轴承主要的两种轴向预紧方式为定压预紧和定位预紧. 2011年，Cao等[13]通过干接触下数值仿真和试验探究球轴承的预紧方式对高速主轴动力学性能的影响，提出在高速切削载荷工况下，定压预紧比定位预紧在保持主轴动态刚度上更有效. 2017年，Zhang等[14]基于干接触下角接触球轴承拟静力学模型，分析了定压预紧方式下预紧力大小和转速对轴承内部载荷分布及疲劳寿命的影响. 2018年，Zhang等[15]基于动力学建立了干接触下角接触球轴承磨损数值仿真模型，探究了不同预紧方式下球径磨损大小对球与滚道接触椭圆上接触压力Q与滑动速度V的乘积QV值的影响，结果表明定位预紧下钢球的磨损会减小轴承的预紧力和磨损率. 可以看出，分析预紧方式对弹流润滑下球轴承内部力学特性影响的文献较少.
在本文中首先建立了考虑自旋的椭圆接触弹流润滑(EHL)模型，将弹流模型的数值解与文献[16]中考虑自旋运动下的膜厚拟合公式进行了对比验证. 以此为基础，将弹流模型与角接触球轴承的拟静力学模型耦合，建立了考虑自旋下弹流润滑的角接触球轴承力学分析模型. 分析了不同转速下定压和定位预紧方式对轴承内部接触载荷及油膜厚度等参数的影响，对比了干接触和弹流润滑工况对角接触球轴承内部力学性能的影响.
1. 考虑自旋的椭圆接触弹流模型
1.1 自旋下的速度分析
球与滚道接触副可等效为1个弹性椭圆体与无限大刚性平面接触，如图1所示.
角接触球轴承在接触区域内存在自旋运动，自旋运动的速度模型如图2所示. 刚性平面绕接触椭圆中心O点处法线方向以自旋角速度ωs做旋转运动，椭球以滚动体与滚道的平均滚动速度Vo滚动，坐标轴x、y分别为接触椭圆短轴和长轴方向，VM为接触域内任意点M(x,y)的卷吸速度，Vx、Vy为VM在短轴和长轴方向的速度分量.
由图2所示可得到任意点M处Vx、Vy表达式为
$$ \left\{ \begin{gathered} {v_x}\left( {{x_{{M}}},{y_{{M}}}} \right) = {v_o} + \frac{{{w_{\rm s}}{y_{{M}}}}}{2} \hfill \\ {v_y}\left( {{x_{{M}}},{y_{{M}}}} \right) = - \frac{{{w_{\rm s}}{x_{{M}}}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ (1) 1.2 椭圆接触弹流模型的建立
1) Reynolds方程
假设润滑油为Newton流体，有两个方向速度的等温椭圆接触Reynolds方程如下：
$$ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\rho {h^3}}}{\eta }\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\rho {h^3}}}{\eta }\frac{{\partial p}}{{\partial y}}} \right) = 12{v_x}\frac{{\partial \left( {\rho h} \right)}}{{\partial x}} + 12{v_y}\frac{{\partial \left( {\rho h} \right)}}{{\partial y}} $$ (2) 方程的边界条件为
$$ \left\{ \begin{gathered} p\left( {{x_{{\text{in}}}},y} \right) = p\left( {{x_{{\text{out}}}},y} \right) = p\left( {x,{y_{{\text{in}}}}} \right) = p\left( {x,{y_{{\text{out}}}}} \right) = 0 \hfill \\ p(x,y) \geqslant 0,{x_{{\text{in}}}} < x < {x_{{\text{out}}}},{y_{{\text{in}}}} < y < {y_{{\text{out}}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ (3) 其中p，h，η和ρ分别为压力、膜厚、润滑油的动力黏度和密度，x和y为球的滚动方向和垂直球的滚动方向，下标in、out分别为油的进口和出口.
2) 膜厚方程
油膜厚度方程如下：
$$ h\left( {x,y} \right) = {h_1} + \frac{{{x^2}}}{{2{R_x}}} + \frac{{{y^2}}}{{2{R_y}}} + \frac{2}{{{\text π} E}}\iint\limits_\Omega {\frac{{P\left( {s,t} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {x - s} \right)}^2} + {{\left( {y - t} \right)}^2}} }}}{\text{d}}s{\text{d}}t $$ (4) 上式中，h1为球与滚道的初始趋近量，Rx，Ry分别为等效椭球体沿x轴、y轴方向的当量曲率半径，E为综合弹性模量，Ω为求解区域，s和t对应x轴和y轴的附加坐标，P(s,t)为对应坐标点的压力.
3) 黏压方程
润滑油的动力黏度随着油压和温度变化而改变，而对于等温弹流分析，Roelands黏压公式表示为
$$\eta = {\eta _0}\exp \left\{ {\left( {\ln {\eta _0} + 9.67} \right)\left[ {{{\left( {1 + \frac{p}{{{p_r}}}} \right)}^Z} - 1} \right]} \right\} $$ (5) $$ Z = \frac{{{\alpha _0}{p_{\rm r}}}}{{\ln {\eta _0} + 9.67}} $$ (6) 其中η0为润滑油在常压下的动力黏度，pr=1.96×108 Pa，α0为Barus黏压系数，取值2.2×10−8 Pa−1.
4) 密压方程
等温弹流润滑下，压力与黏度的关系如下式：
$$ \rho = {\rho _0}\left( {1 + \frac{{0.6p}}{{1 + 0.7p}}} \right) $$ (7) 其中ρ0为润滑油在常压下的密度，油压p的单位为GPa.
5) 载荷方程
当润滑油将两接触体分离时，润滑油承受外载荷，故外载平衡方程为
$$ F = \iint\limits_\Omega {p(x,y)}{\text{d}}x{\text{d}}y $$ (8) 1.3 考虑自旋弹流模型的求解与验证
采用FFT方法[17]求解接触体间弹性变形问题，使用Gauss-Seidel低松弛迭代求解Reynolds方程得到压力新值，当油压和外载前后两次迭代的相对误差均低于10-5时，弹流模型求解结束，得到单个接触副的压力和膜厚分布，具体求解方法可参考文献[18].
对比文献[16]中考虑自旋下弹流膜厚计算的拟合公式，在同一工况下分别计算了自旋角速度ωs为0、1 000、2 000、3 000、4 000和5 000 rad/s时润滑油膜厚度和压力分布，坐标轴X=x/a，Y=y/a量纲后的数值求解域为{(X,Y)|−4.6≤X≤1.4, −4≤Y≤4}，计算网格为64×64，具体计算工况如下：卷吸速度ue=5 m/s，Rx=0.05 m，Ry=0.141 m，E=221 GPa，η0=0.05 Pa·s，量纲材料参数G=5 115，外载荷w=180 N.
由图3(a)中看出，本文中的弹流模型数值解与文献[16]中拟合公式的膜厚结果吻合，中心膜厚hc最大相对误差8%，该误差值在拟合公式的可接受范围内，验证了本文中考虑自旋下的弹流模型结果可信. 由图3(b)中可得，因自旋角速度的影响，油膜厚度h和油膜压力p沿Y=0截面不再对称. 在Y轴负方向，最小膜厚hmin随自旋角速度的增大而减小，因本文中所取最小膜厚点Omin与接触椭圆中心O距离较远(975 μm)，故最小膜厚点的卷吸速度减小量较大，自旋运动对中心膜厚值影响很小[10]，因本模型计算所取的中心膜厚点Oc与接触中心O距离微小(2.6 μm)，故中心膜厚点的卷吸速度受自旋角速度变化很小.
2. 不同预紧方式下弹流润滑的球轴承拟静力学模型
角接触球轴承的定位和定压轴向预紧方式的结构如图4(a)和(b)所示. 定位预紧是在一对轴承中间装入长度不等的内、外套筒，这种预紧方式刚度较大. 但由于易受润滑膜厚、热变形[19]和磨损的影响，进而导致轴承“加载”或“卸载”. 而定压预紧是在一对轴承中间装入弹簧，可得到稳定的预紧力. 采用定压预紧，轴承在正常工况下预载荷不变，但因轴承刚度与弹簧刚度相差很大，故该轴承组刚度较低. 角接触球轴承在弹流润滑下的定压预紧模型可参考文献[10]，以下着重介绍弹流润滑下定位预紧模型.
2.1 球与内/外滚道的接触变形
弹流润滑与干接触本质区别在于是否考虑接触副之间存在润滑油膜的作用. 相对干接触，弹流下的润滑油膜改变了接触体间的压力分布和变形状态. 在轴承运转过程中，弹流润滑和干接触下单个球与滚道弹性变形如图5所示.
![]()
图 5 弹流润滑和干接触下球与滚道间的弹性变形Figure 5. Elastic deformation between ball and race under EHL and dry contactQ为球与滚道间的接触载荷，h0为球与滚道的趋近位移量，δ是接触中心的弹性变形，hc为接触副间的中心油膜厚度，三者之间有以下关系：
$$ {h_0} = \delta - {h_{\text{c}}} $$ (9) 由于Jones拟静力学是分析干接触下轴承内部力学性能，不考虑润滑油膜的作用，即中心膜厚hc=0，故趋近位移量等于弹性变形量h0=δ.
2.2 球与滚道接触区的速度及角速度的计算
Harris[20]中角接触球轴承运动学关系如图6所示. 其中D为球径，dm为节圆直径，ωi为轴承旋转角速度，ωm为球的自转角速度，α为接触角，β为球的姿态角，下标i和o分别代表内/外滚道的参数，ωs为球在滚道上的自旋角速度，垂直于接触区.
由图6中运动学关系可得球在内/外滚道上的自旋角速度：
$$ \left\{ \begin{gathered} {\omega _{{\text{si}}}} = {\omega _r}\sin (\beta - {\alpha _{\text{i}}}) + ({\omega _{\text{i}}} - {\omega _{\rm m}})\sin {\alpha _{\text{i}}} \hfill \\ {\omega _{{\text{so}}}} = {\omega _r}\sin ({\alpha _{\text{o}}} - \beta ) + {\omega _{\rm m}}\sin {\alpha _{\text{o}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ (10) 轴承内滚道沿滚动方向速度ui：
$$ {u_{\text{i}}}{\text{ = }}\frac{1}{2}\left( {{\omega _{\text{i}}} - {\omega _{\rm m}}} \right)\left( {{d_{\rm m}} - D\cos {\alpha _{\text{i}}}} \right) $$ (11) 球在内滚道上沿滚动方向的速度ubi：
$$ {u_{{\text{bi}}}}{\text{ = }}\frac{1}{2}D{\omega _{\rm r}}\cos ({\alpha _{\text{i}}} - \beta ) $$ (12) 故球与内滚道接触中心点的卷吸速度u1：
$$ {u_1}{\text{ = }}\frac{{{u_{\text{i}}} + {u_{{\text{bi}}}}}}{2} $$ (13) 轴承外滚道沿滚动方向速度uo：
$$ {u_{\text{o}}}{\text{ = }}\frac{1}{2}{\omega _{\rm m}}\left( {{d_{\rm m}} + D\cos {\alpha _{\text{o}}}} \right) $$ (14) 球在外滚道上沿滚动方向的速度ubo=ubi，故球与外滚道接触中心点的卷吸速度u2：
$$ {u_2}{\text{ = }}\frac{{{u_{\text{o}}} + {u_{{\text{bo}}}}}}{2} $$ (15) 2.3 定位预紧下球的载荷及位移协调方程
参考定压预紧方式下Jones干接触拟静力学模型[21]，对轴承内部各球编号，如图7所示，其中j号球与内/外圈的法向接触载荷分别为Qij、Qoj，高速下j号球本身的离心力Fcj以及陀螺力矩Mgj，取λij=0，λoj=2. 图8是受载前后，j号球与滚道的曲率中心相对位置的变化，其中h0ij和h0oj分别是弹流润滑下球与内/外滚道间的趋近位移，Obj、Obj′和Obj "分别代表载荷作用前、后及高速工况下球中心位置.
![]()
图 8 载荷作用下角位置Ψj处球中心和沟曲率中心位置Figure 8. Relative position between the jth ball and raceway对于定位预紧方式，内圈设计的轴向预紧量δa固定不变，根据j号球的受力平衡和球/沟道几何中心位置得到方程(16)和(17).
$$ \begin{aligned} & {Q_{{\rm{i}}j}}\sin {\alpha _{{\rm{i}}j}} - {Q_{{\rm{o}}j}}\sin {\alpha _{{\rm{o}}j}} - \\ & \quad \quad \frac{{{M_{{\rm g}j}}}}{D}\left( {{\lambda _{{\rm{i}}j}}\cos {\alpha _{{\rm{i}}j}} - {\lambda _{{\rm{o}}j}}\cos {\alpha _{{\rm{o}}j}}} \right) = 0\\ & {Q_{{\rm{i}}j}}\cos {\alpha _{{\rm{i}}j}} - {Q_{{\rm{o}}j}}\cos {\alpha _{{\rm{o}}j}} + \\ & \quad \quad \frac{{{M_{{\rm g}j}}}}{D}\left( {{\lambda _{{\rm{i}}j}}\sin {\alpha _{{\rm{i}}j}} - {\lambda _{{\rm{o}}j}}\sin {\alpha _{{\rm{o}}j}}} \right) + {F_{{\rm c}j}} = 0 \end{aligned}$$ (16) $$ \left\{ \begin{gathered} {\left( {{A_{1{\text{j}}}} - {X_{1j}}} \right)^2} + {\left( {{A_{2{\text{j}}}} - {X_{2j}}} \right)^2} = {\left[ {\left( {{f_{\text{i}}} - 0.5} \right)D + {h_0}^{{\text{i}}j}} \right]^2} \hfill \\ {X_{1j}}^2 + {X_{2j}}^2 = {\left[ {\left( {{f_{\text{o}}} - 0.5} \right)D + {h_0}^{{\text{o}}j}} \right]^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ (17) 而对于整个轴承，在内圈上需满足各球的接触载荷与其所受外载荷之间的平衡，故可建立内圈力系平衡方程(18).
$$ \left\{ \begin{gathered} {F_a}{\text{ = }}\sum\limits_{j = 1}^Z {\left( {{Q_{{\text{i}}j}}\sin {\alpha _{{\text{i}}j}} - \frac{{{\lambda _{{\text{i}}j}}{M_{{\rm g}j}}}}{D}\cos {\alpha _{{\text{i}}j}}} \right)} \hfill \\ {F_r}{\text{ = }}\sum\limits_{j = 1}^Z {\left( {{Q_{{\text{i}}j}}\cos {\alpha _{{\text{i}}j}} - \frac{{{\lambda _{{\text{i}}j}}{M_{{\rm g}j}}}}{D}\sin {\alpha _{{\text{i}}j}}} \right)} \cos {\varPsi _j} \hfill \\ M{\text{ = }}\sum\limits_{j = 1}^Z {\left[ {\left( {{Q_{{\text{i}}j}}\sin {\alpha _{{\text{i}}j}} - \frac{{{\lambda _{{\text{i}}j}}{M_{{\rm g}j}}}}{D}\cos {\alpha _{{\text{i}}j}}} \right){x_{\text{i}}} + {\lambda _{{\text{i}}j}}{f_{\text{i}}}{M_{{\rm g}j}}} \right]} \cos {\varPsi _j} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ (18) 2.4 接触载荷-变形关系
在球的受力平衡方程(16)中，因干接触下接触体间无润滑油膜存在，故接触载荷Q与变形量δ存在以下表达式：
$$ Q = K{\delta ^{1.5}} $$ (19) 其中K为载荷-变形系数，只与接触材料和接触体几何形状有关，故Jones拟静力学模型根据(19)式建立的载荷-变形关系.
而对于弹流润滑下球与滚道的变形-载荷问题，由2.1节可知两接触体间趋近位移量h0与接触载荷Q、卷吸速度v、自旋角速度ωs和综合弹性模量E等参数有关，弹流模型的数值解无法给出其具体表达式，可表示为h0=fEHL(Q, v, ωs, E,…).
2.5 数值求解
Jones干接触拟静力学模型，在j号球的受力和几何位置的4个方程(16)和(17)中，有X1j、X2j、δij和δoj共4个未知量，根据接触载荷-变形关系式(19)，可直接求导得到Q对δ的导数表达式，使用Newton-Raphson迭代求解.
本文中弹流润滑下的拟静力学模型，弹流数值解是已知接触载荷Q等参数得到接触副间趋近位移量h0，则无法类比干接触下式(19)得到Q对h0的偏导数表达式. 弹流模型是变形-载荷关系式h0=fEHL(Q, v, ωs, E, …)，故在球的受力和几何位置方程中，取X1j、X2j、Qij和Qoj为未知量，由导数的定义法求得某点处h0对Q的导数值，导数表达式如下：
$$ \frac{{\partial {h_0}}}{{\partial Q}} = \frac{{{{h'}_0} - {h_0}}}{{\left( {Q + \Delta Q} \right) - Q}} $$ (20) 式中取ΔQ=10−4.
为加速程序收敛，将干接触下拟静力学模型的数值解作为弹流润滑下拟静力学模型迭代的初值，Newton-Raphson求解载荷及几何变形方程，4个方程的迭代收敛精度为10−5，将收敛后的结果代入内圈外载平衡方程(18)中，最后输出弹流润滑下轴承内部载荷分布、球与内/外滚道间润滑膜厚以及预紧力等结果，具体计算程序框图如图9所示.
![]()
图 9 弹流润滑下角接触球轴承的拟静力学求解Figure 9. Calculation process for ACBB quasi-static model under EHL3. 结果与讨论
3.1 弹流下定压预紧模型的结果验证
为验证本文中弹流润滑下拟静力学模型可信性，对比文献[10]结果，采用定压预紧方式，选用SKF7210角接触球轴承，工况为富油润滑，该轴承结构及材料参数列于表1中.
表 1 7210型轴承及润滑油基本参数Table 1. The parameters of 7210 bearing and lubricant oilParameters Specifications Parameters Specifications Inner ring diameter, di/mm 50 Outer race curve coefficient, fo 0.521 Outer ring diameter, do/mm 90 Elastic module of ball and race, E/GPa 206 Ball diameter, D/mm 12.186 Poisson’s ratio of ball and race, υ0 0.3 Unloaded contact, α0/(°) 40 Density of ball and race/(kg/m3) 7850 Number of balls, Z 14 Environmental viscosity of oil, η/(Pa·s) 0.018 Inner race curve coefficient, fi 0.518 Environmental density of oil, ρ0/(kg/m3) 870 轴承内圈旋转，外圈固定，轴向预紧力Fa为10 kN. 球轴承内部接触载荷、内滚道上三维膜厚及压力分布随轴承转速变化如图10所示.
![]()
图 10 轴承转速对接触载荷、内滚道上三维膜厚及压力分布的影响Figure 10. Contact force, 3D film thickness and 3D pressure of inner raceway with different rotating speed从图10(a)中可以发现，本文结果与文献[10]在弹流润滑下的接触载荷结果相对误差小于2%，认为本文中研究结果在定压预紧下弹流润滑的拟静力学模型可信. 弹流润滑下，随着转速增大，球本身的离心力增大，导致球与外圈接触载荷增大，球与内圈接触载荷减小，这与干接触拟静力学下接触载荷变化趋势相同.
由图10(b)中可看出，轴承以中低转速运转时，本文中的膜厚值与文献[10]计算结果相对误差低于1%. 随着轴承转速增大，球与内/外圈接触副间的卷吸速度增大，中心膜厚和最小膜厚均增大，同时内圈上的自旋角速度也增大，故而最小膜厚增长的斜率减小. 但轴承转速大于9 000 r/min时，本文计算与文献[10]的最小膜厚结果相对误差超过20%. 由运动学计算可得：该轴承转速高于9 000 r/min时，对应内圈接触副上自旋角速度大于500 rad/s，超出了文献[10]膜厚公式的拟合范围，导致其高转速下最小膜厚的结果误差过大，故而文献[10]中最小膜厚拟合公式存在角速度适用范围的局限性.
图10(c)所示为球与内滚道接触副上膜厚的三维分布，轴承转速从3 000增大到15 000 r/min，内滚道上中心膜厚及最小膜厚均增大，因球的自旋角速度影响，油膜形状沿Y方向不对称，油膜厚度表现为负薄正厚，最小膜厚与中心膜厚的差值增大. 从图10(d)中看出定压预紧下轴承转速的变化对接触副间压力分布影响很小，但高转速下油膜的二次压力峰现象更加明显.
3.2 不同预紧方式下轴承接触参数的变化
本节中继续选用以上SKF7210型角接触球轴承，定压预紧轴向预紧力Fa为10 kN；定位预紧下，取静载时内圈轴向预紧量δa为30.89 μm，此状态下轴向预紧力Fa为10 kN. 在干接触和弹流润滑工况下，轴承从静载状态加速到15 000 r/min，两种预紧方式下球与滚道的接触参数变化如图11所示.
![]()
图 11 不同预紧方式下球与滚道接触参数随轴承转速的变化Figure 11. Contact parameters between ball and raceway under different preload methods球与套圈间油膜厚度大小反映轴承内部的润滑和磨损状态，图11(a)是不同预紧方式下内/外圈上中心膜厚随轴承转速的变化，随着轴承转速增大，球与滚道接触副上的卷吸速度增大，根据弹流润滑模型可知球与内/外滚道间中心膜厚增大；同一转速下，若不考虑球在滚道上的打滑运动，球与内/外滚道接触副中心点的卷吸速度大小相等，虽然球的离心力导致外圈上接触载荷Qo大于内圈Qi，但因球与内/外滚道接触形式不同，导致球与内滚道接触中心的压力大于外滚道，所以外滚道上膜厚略大于内滚道10%，即轴承外圈上的润滑状态优于内圈. 由图11(e)可看出，弹流润滑工况下定位预紧的接触载荷Q大于定压预紧下接触载荷，故图11(a)中定位预紧方式下内外圈上膜厚略低于定压预紧方式. 而对于图11(b)，因定位预紧下轴承随转速增大被“加载”，故定位预紧下球在内圈上的自旋角速度小于定压预紧；由图11(d)可知，随着转速增大，定位预紧下，弹流润滑工况“加载”更大，故图11(b)中弹流润滑下的自旋角速度低于干接触. 而在定压预紧中，弹流润滑下的接触载荷略大于干接触，故其自旋角速度略小.
图11(c)所示为轴承内圈轴向位移随转速变化图，对于定位预紧方式，内圈轴向预紧量δa固定不变；而对于定压预紧，随着转速增大，球的离心力增大导致球与滚道趋近位移h0变化，当转速达到15 000 r/min时，干接触下内圈轴向位移减少4.71%；弹流润滑下接触副间油膜随轴承转速增大而变厚，故相比干接触时球与滚道间的趋近位移h0进一步减小，转速为15 000 r/min时，内圈轴向位移减少17.83%. 图11(d)表示轴承外载随转速变化，定压预紧下，轴承预紧力恒定10 kN. 而对于定位预紧方式，因内圈轴向位移量δa固定不变，在干接触工况下，高速球的离心力改变了接触副间接触载荷，当转速达到15 000 r/min时，轴承被球的离心作用“加载”5.87%；而弹流润滑工况下，球与内/外滚道间润滑油膜变厚导致球与滚道间接触载荷Q增大，轴承转速15 000 r/min时，轴承预紧力Fa增加23.17%，轴承被润滑油膜“加载”.
球与滚道间接触载荷是评估轴承疲劳寿命的重要参数，图11(e)表示轴承内部接触载荷随转速的变化，在定压预紧方式下，轴承转速增大时，因为球的离心力作用，故外圈上接触载荷增大，内圈上接触载荷减小. 弹流润滑油膜改变了球与滚道间的变形和趋近位移，对接触副间的受力状态影响很小，故润滑下接触载荷较干接触下增大0.64%. 对于定位预紧，弹流润滑下球与滚道间中心膜厚hc随转速增大，而轴向预紧量δa固定不变，则球与内/外滚道间的弹性变形量δ也必然增大，即球与内外圈的接触载荷均增大. 定位预紧下干接触的接触载荷变化规律与定压预紧下相同，但轴承被球的离心力“加载”，故定位预紧下干接触的接触载荷大于定压预紧. 如图11(f)所示，对于不同预紧方式下的干接触和弹流润滑工况的轴承，随着转速增大，球与套圈接触角α的变化规律相同，即球与外圈接触角减小，与内圈接触角增大. 对于定压预紧方式，预紧力Fa固定不变，由(18)式内圈力系平衡方程可知，因弹流下球与套圈接触载荷比干接触略大，故弹流下球与套圈接触角略小于干接触. 定位预紧下，随转速增大轴承被“加载”，弹流下球与内圈接触角略小于干接触，球与外圈接触角略大于干接触.
4. 结论
基于自旋下椭圆接触弹流润滑模型和干接触下角接触球轴承拟静力学模型，建立了考虑自旋弹流润滑下角接触球轴承拟静力学耦合模型，并分析不同预紧方式对弹流润滑和干接触工况角接触球轴承内部接触参数的影响，得到以下3个结论：
a. 文献[10]的最小膜厚拟合公式在中低转速下可靠，当轴承转速高于9 000 r/min时，即自旋角速度大于500 rad/s工况下，最小膜厚的计算误差超过20%.
b. 随着轴承转速增大，球与滚道间润滑油膜变厚，当转速为15 000 r/min时，外圈上中心膜厚高于内圈10%，定压预紧下中心膜厚略大于定位预紧1.78%. 定压预紧下，内圈位移随轴承转速增大而减小，轴承转速为15 000 r/min时，干接触下内圈位移减小4.71%，弹流润滑下减小17.83%；对于定位预紧方式，轴承预紧力随着转速增大而增大，转速达到15 000 r/min时，干接触下轴承被球的离心作用“加载”5.87%，弹流润滑下轴承被润滑油膜作用“加载”23.17%. 因定位预紧方式下轴承对预紧量非常敏感，故设计预紧量时不可忽略高速下球的离心作用和润滑油膜对轴承实际预紧力的改变.
c. 定压预紧下，随着轴承转速增大，球与内圈接触载荷减小、接触角增大，与外圈接触载荷增大、接触角减小，而考虑弹流润滑的接触载荷较干接触时增大0.64%，接触角略低于干接触；定位预紧下，弹流润滑时球与内/外圈的接触载荷均增大，干接触下球与套圈接触载荷高于定压预紧方式.
-
![]()
图 5 弹流润滑和干接触下球与滚道间的弹性变形
Figure 5. Elastic deformation between ball and race under EHL and dry contact
![]()
图 8 载荷作用下角位置Ψj处球中心和沟曲率中心位置
Figure 8. Relative position between the jth ball and raceway
![]()
图 9 弹流润滑下角接触球轴承的拟静力学求解
Figure 9. Calculation process for ACBB quasi-static model under EHL
![]()
图 10 轴承转速对接触载荷、内滚道上三维膜厚及压力分布的影响
Figure 10. Contact force, 3D film thickness and 3D pressure of inner raceway with different rotating speed
![]()
图 11 不同预紧方式下球与滚道接触参数随轴承转速的变化
Figure 11. Contact parameters between ball and raceway under different preload methods
表 1 7210型轴承及润滑油基本参数
Table 1 The parameters of 7210 bearing and lubricant oil
Parameters Specifications Parameters Specifications Inner ring diameter, di/mm 50 Outer race curve coefficient, fo 0.521 Outer ring diameter, do/mm 90 Elastic module of ball and race, E/GPa 206 Ball diameter, D/mm 12.186 Poisson’s ratio of ball and race, υ0 0.3 Unloaded contact, α0/(°) 40 Density of ball and race/(kg/m3) 7850 Number of balls, Z 14 Environmental viscosity of oil, η/(Pa·s) 0.018 Inner race curve coefficient, fi 0.518 Environmental density of oil, ρ0/(kg/m3) 870 
下载: 导出CSV
-
[1] 史修江, 王黎钦, 古乐, 等. 基于拟动力学的航空发动机主轴球轴承热弹流润滑分析[J]. 航空动力学报, 2016, 31(1): 233–240 doi: 10.13224/j.cnki.jasp.2016.01.030 Shi Xiujiang, Wang Liqin, Gu Le, et al. Thermal elastohydrodynamic lubrication analysis of aero-engine mainshaft ball bearing based on quasi-dynamic[J]. Journal of Aerospace Power, 2016, 31(1): 233–240 doi: 10.13224/j.cnki.jasp.2016.01.030
[2] Alfares M A, Elsharkawy A A. Effects of axial preloading of angular contact ball bearings on the dynamics of a grinding machine spindle system[J]. Journal of Materials Processing Technology, 2003, 136(1-3): 48–59. doi: 10.1016/S0924-0136(02)00846-4
[3] Holkup T, Cao H, Kolář P, et al. Thermo-mechanical model of spindles[J]. CIRP Annals, 2010, 59(1): 365–368. doi: 10.1016/j.cirp.2010.03.021
[4] Kaczor J. A method of preload selection for a system of angular contact ball bearings due to the moment of friction[J]. Tribologia, 2019, 283(1): 5–12. doi: 10.5604/01.3001.0013.1429
[5] Kaczor J, Raczynski A. The effect of preload of angular contact ball bearings on durability of bearing system[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part J: Journal of Engineering Tribology, 2015, 229(6): 723–732. doi: 10.1177/1350650114562485
[6] Gupta P K. Advanced dynamics of rolling elements[M]. New York: Springer New York, 1984
[7] Bal H, Aktürk N. Vibration modeling of wind turbine shaft as rigid shaft supported by EHL contact ball bearings with overhung disc system[J]. Tribology International, 2020, 151: 106481. doi: 10.1016/j.triboint.2020.106481
[8] Hamrock B J, Dowson D. Isothermal elastohydrodynamic lubrication of point contacts: part 1-theoretical formulation[J]. Journal of Lubrication Technology, 1976, 98(2): 223–228. doi: 10.1115/1.3452801
[9] 孙浩洋, 张艳平, 管殿柱, 等. 高速重载工况Hamrock-Dowson膜厚公式的适用性研究[J]. 青岛大学学报(工程技术版), 2011, 26(3): 82–85 doi: 10.13306/j.1006-9798.2011.03.016 Sun Haoyang, Zhang Yanping, Guan Dianzhu, et al. Study on the suitability for the hamrock-Dowson formula under heavy load and high speed working conditions[J]. Journal of Qingdao University (Engineering & Technology Edition), 2011, 26(3): 82–85 doi: 10.13306/j.1006-9798.2011.03.016
[10] 郭凯, 苑士华, 张玉言, 等. 考虑自旋状态下弹流润滑的球轴承力学特性计算方法研究[J]. 机械工程学报, 2013, 49(15): 62–67 doi: 10.3901/JME.2013.15.062 Guo Kai, Yuan Shihua, Zhang Yuyan, et al. Study on the calculation method of ball bearing mechanical characteristics considering elastohydrodynamic lubrication with spinning[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(15): 62–67 doi: 10.3901/JME.2013.15.062
[11] 吴明星, 吴维, 胡纪滨, 等. 考虑自旋的高速角接触球轴承油膜刚度计算[J]. 振动与冲击, 2014, 33(10): 38–42 doi: 10.13465/j.cnki.jvs.2014.10.008 Wu Mingxing, Wu Wei, Hu Jibin, et al. Oil film stiffness calculation of high speed angular contact ball bearings considering spinning[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(10): 38–42 doi: 10.13465/j.cnki.jvs.2014.10.008
[12] Lei Chunli, Li Fuhong, Gong Baoru, et al. An integrated model to characterize comprehensive stiffness of angular contact ball bearings[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2020, 2020: 1–12. doi: 10.1155/2020/4951828
[13] Cao H, Holkup T, Altintas Y. A comparative study on the dynamics of high speed spindles with respect to different preload mechanisms[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2011, 57(9-12): 871–883. doi: 10.1007/s00170-011-3356-9
[14] Zhang Jinhua, Fang Bin, Hong Jun, et al. Effect of preload on ball-raceway contact state and fatigue life of angular contact ball bearing[J]. Tribology International, 2017, 114(1): 365–372. doi: 10.1016/j.triboint.2017.04.029
[15] Zhang Tao, Chen Xiaoyang, Gu Jiaming, et al. Influences of preload on the friction and wear properties of high-speed instrument angular contact ball bearings[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2018, 31(3): 597–607. doi: 10.1016/j.cja.2017.07.006
[16] Zou Qian, Huang Changhua, Wen Shizhu. Elastohydrodynamic film thickness in elliptical contacts with spinning and rolling[J]. Journal of Tribology, 1999, 121(4): 686–692. doi: 10.1115/1.2834124
[17] Liu Shuangbiao, Wang Qian, Liu Geng. A versatile method of discrete convolution and FFT (DC-FFT) for contact analyses[J]. Wear, 2000, 243(1-2): 101–111. doi: 10.1016/S0043-1648(00)00427-0
[18] 蒲伟, 王家序, 朱东, 等. 卷吸速度为任意方向的椭圆接触弹流润滑复合迭代解法[J]. 机械工程学报, 2014, 50(13): 106–112 doi: 10.3901/JME.2014.13.106 Pu Wei, Wang Jiaxu, Zhu Dong, et al. Semi-system approach in elastohydrodynamic lubrication of elliptical contacts with arbitrary entrainment[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(13): 106–112 doi: 10.3901/JME.2014.13.106
[19] 路遵友, 吕延军, 张永芳, 等. 考虑热弹性变形的角接触球轴承微观热弹流分析[J]. 摩擦学学报, 2018, 38(3): 299–308 doi: 10.16078/j.tribology.2018.03.007 Lu Zunyou, Lü Yanjun, Zhang Yongfang, et al. Micro thermal elastohydrodynamic lubrication analysis of angular contact ball bearing considering thermal elastic deformation[J]. Tribology, 2018, 38(3): 299–308 doi: 10.16078/j.tribology.2018.03.007
[20] Harris T A, Kotzalas M N. Advanced concepts of bearing technology[M]. London: CRC Press, 2006
[21] Jones A B. Ball motion and sliding friction in ball bearings[J]. Journal of Basic Engineering, 1959, 81(1): 1–12. doi: 10.1115/1.4008346
-
期刊类型引用(5)
1. 陈楠，朱凯，蒋志桢，龚诗雨，李璞，金晓清. 接触问题的三角形载荷离散FFT加速算法. 重庆大学学报. 2024(02): 95-105 . 
百度学术
2. 贺朝霞，杨云飞，常乐浩，谢江辉. 考虑弹流润滑效应的三点接触球轴承刚度特性分析. 机械设计. 2024(02): 88-95 . 百度学术
3. 柏宗意，韩一鸣，栗心明，李维民，张建军. 点接触滑动-往复自旋运动润滑成膜规律研究. 摩擦学学报(中英文). 2024(06): 729-740 . 百度学术
4. 雷春丽，宋瑞哲，樊高峰，刘凯，薛伟，李建华. 考虑摩擦力作用的局部缺陷角接触球轴承振动特性研究. 摩擦学学报(中英文). 2024(10): 1355-1365 . 百度学术
5. 张斌，朱汉华. 基于弹流耦合算法的船舶艉轴承润滑特性分析. 润滑与密封. 2022(06): 19-29 . 百度学术
其他类型引用(12)
计量
- 文章访问数: 234
- HTML全文浏览量: 88
- PDF下载量: 71
- 被引次数: 17
