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摘要: 针对现有的凸度设计研究没有考虑供油量因素的现状，研究了供油量对对数滚子弹流润滑特性的影响，指出：在轴向中部，对数滚子的乏油润滑特性与无限长线接触弹流的乏油润滑特性相似；在轴向端部，当供油量较小时，膜厚较小且轴向颈缩不明显；随供油量的增加，膜厚沿滚子轴线方向逐渐由中部向端部增大，轴向颈缩逐步建立，直至形成膜厚的端部闭合效应达到充分供油润滑. 在供油量由乏油到充分供油的变化过程中，压力的边缘效应趋于显著. 因此，充分供油条件下的凸度设计结果不能直接用于乏油工况，乏油时需要的凸度量将小于充分供油润滑的凸度量.Abstract: Because the factors of oil supply are not taken into account in current crowning design, the influence of oil supply on the elastohydrodynamic lubrication characteristics of logarithmic roller was studied. It was concluded that in the middle of the roller in the axis directions, the lubrication characteristics of logarithmic roller were similar to those of infinite line contact under elastohydrodynamic lubrication. At the axial end, when the oil supply was low, the film thickness was low and the axial oil film neck shrinkage was not obvious. With the increase of oil supply, the film thickness increased gradually from the middle to the end along the axis direction of the roller, and the axial oil film neck shrinkage was gradually established until the end closure effect of the film thickness took into effect,. Therefore, full oil lubrication was reached. The edge effect of pressure tended to be significant in the process from oil starvation to oil enrichment. Therefore, the results of crowning design under fully oil conditions can not be directly applied to oil-starvation conditions, and the crowning value needed in oil-starvation conditions was less than that of fully oil lubrication.
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Keywords:
- EHL /
- finite line contact /
- logarithmic profile roller /
- oil starvation /
- crowning design
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线接触副通常工作在润滑状态下，因承载能力大，所以在工程中应用广泛，如滚子轴承的滚道与滚子之间，凸轮及其滚子从动件之间等，属于有限长弹流润滑的研究范畴. WYMER等[1]的开创性工作指出：不同于点接触弹流和无限长弹流，滚子的边缘效应及据此提出的凸度设计是有限长弹流的特有研究内容；由于接触区狭长轴向流动困难，有限长弹流更容易出现乏油润滑.
高速是机械设备发展的方向之一，乏油是润滑领域的1个研究热点. 杨沛然等[2]对无限长线接触弹流提出了过量供油、适量供油和乏油的概念；Chevalier等对点接触弹流进行了乏油润滑研究[3]；武丹丹等[4]分别针对Newton流体和Ree-Eyring流体对无限长线接触弹流在乏油工况下的成膜性能进行了研究；白新瑞等[5]使用Elrod算法求得了相切圆弧修形滚子的乏油数值解，主要讨论了供油量对滚子中部压力和膜厚分布的影响规律.
滚子润滑的特性主要体现在轴向端部的边缘效应. 近年来有限长弹流润滑研究取得较大进展[6、7]：马家驹等[8]讨论了修形滚子的端部闭合效应；信召顺等[9]对圆柱滚子轴承进行了微观非牛顿热弹流润滑研究；孙浩洋[10]对充分供油条件下的滚子润滑问题进行了系统分析，进而首次提出了最佳凸度量取值区间的概念，指出最佳凸度量取值区间的下限由膜厚分布确定，以确保全膜润滑，最佳凸度量取值区间的上限由压力分布确定，以确保压力分布的轴向均匀性，并初步揭示了充分供油条件下的最佳凸度量取值区间随工况参数的变化规律[11]；吴继强等[12]在运用拟动力学分析方法完成轴承的运动和力分析的基础上，引入Hu-Zhu混合润滑模型[13-14]分析了端部圆弧修形的鼓形滚子的性能并讨论了凸度设计的问题，但在分析中没能考虑到供油量的影响. 可见对滚子的乏油润滑研究尚待深入. 对数凸形是最佳凸形[10]，且对数滚子在高性能滚子接触副中得到广泛应用，但尚未见到针对对数滚子的乏油润滑研究报导，因此本文作者就供油量对对数滚子的润滑特性，特别是对边缘效应的影响展开研究.
1. 对数滚子润滑的数学模型
如图1所示，记对数凸形滚子全长为L，中部半径为Rx. 滚子与下方固体组成摩擦副，记载荷为w，固体表面线速度为u1，滚子以角速度ω绕轴线转动，滚子表面线速度u2=ωRx，则卷吸速度ue=(u1+u2)/2. 分别沿卷吸速度方向和滚子轴向建立x和y坐标，沿膜厚方向建立z坐标. 为单纯讨论供油量的影响，取等温模型研究. Reynolds方程为
$$\frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {\frac{{\rho {h^3}}}{\eta }\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right] + \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\frac{{\rho {h^3}}}{\eta }\frac{{\partial p}}{{\partial y}}} \right] = 12{u_{\rm{e}}}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\rho \theta h} \right)$$ (1) 式中：p为压力，h为膜厚，设润滑剂为牛顿流体，
$\eta $ 为动力黏度，ρ为密度. 部分油膜因子$\theta \left( {x,y} \right) = \displaystyle\frac{{{h_{\rm f}}\left( {x,y} \right)}}{{h\left( {x,y} \right)}}$ ；其中：$h{}_{\rm f}$ 为油膜厚度，h为摩擦副间隙. 当$h{}_{\rm f} < h$ ，即膜厚不能填满摩擦副间隙时，油膜压力p=0；当$h{}_{\rm f} = h$ 时，油膜压力p>0，即：$$\left\{ \begin{aligned} & 0 < \theta (x,y) < 1,\quad p(x,y) = 0 \\ & \theta \left( {x,y} \right) = 1,\;\;p\left( {x,y} \right) > 0 \end{aligned} \right.$$ (2) 不区分适量供油与过量供油，对不乏油润滑统称为充分供油润滑. 充分供油润滑时部分油膜因子θ恒取为1. 上式的边界条件为
$$\left\{ \begin{aligned} & p\left( {{x_{{\rm{in}}}},\;y} \right) = p\left( {{x_{{\rm{out}}}},\;y} \right) = p\left( {x,\, - {y_{{\rm{out}}}}} \right) = p\left( {x,\;{y_{{\rm{out}}}}} \right) = 0 \\ & p\left( {x,\;y} \right) \geqslant 0,\;{x_{{\rm{in}}}} < x < {x_{{\rm{out}}}},\; - {y_{{\rm{out}}}} < y < {y_{{\rm{out}}}} \end{aligned} \right.$$ (3) 黏度与压力的关系为
$$\eta = {\eta _0}\exp \left\{ {{A_1}\left[ {{{\left( {1 + {A_2}p} \right)}^{{Z_0}}} - 1} \right]\,} \right\}$$ (4) 式中：
${A_1} = \ln {\eta _0} + 9.67$ ，${A_2} = 5.1 \times {10^{ - 9}}$ Pa−1，Z0 = α/(A1A2)，α为Barus黏压系数.密度与压力的关系为
$$\rho = {\rho _0}\left[ {1 + {{{C_1}p} / {\left( {1 + {C_2}p} \right)}}} \right]$$ (5) 式中：
${C_1} = 0.6 \times {10^{ - 9}}$ Pa−1，${C_2} = 1.7 \times {10^{ - 9}}$ Pa−1.对数滚子的摩擦副间隙方程为
$$ \begin{aligned} h\left( {x,\;y} \right) = & {h_{00}} + \frac{2}{{{\text π} E'}}\iint {\frac{{p\left( {x',\;y'} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {x - x'} \right)}^2} + {{\left( {y - y'} \right)}^2}} }}{\text{d}}x'{\text{d}}y'} + \\ & {R_x} - \sqrt {{{\left( {{R_x} - \delta \cdot {S_{{\text{lu}}}}\left( {0,y} \right)} \right)}^2} - {x^2}} \\[-12pt] \end{aligned} $$ (6) $\delta $ 为文献[11]定义的凸度系数，${S_{{\rm{lu}}}}(0,y)$ 为Lundberg对数轮廓母线函数. 当$\delta $ =1时，即为干接触下根据静弹性力学求得的理想轮廓.$\delta $ 的引入是为了表征润滑工况下需要的凸度量与干接触下需要的凸度量的不同.载荷平衡方程为
$$ \iint {p{\rm{d}}x{\rm{d}}y} = w $$ (7) 2. 求解技术
求解过程在量纲一化后进行，量纲一化的方法详见文献[10]. 压力求解使用多重网格法，其中弹性变形使用多重网格积分法. 设置6层网格，x、y方向在最高层网格上分别均布257和513个节点. x方向求解域为[−4.6a，1.8a]，其中a为对应无限长线接触的Hertz接触半宽；y方向求解域为[−0.5L，0.5L]. 压力初值取对应的无限长线接触赫兹压力场. 压力和载荷的计算精度分别取1×10−4和1×10−5. 压力和膜厚以有量纲量表达，表达结果的量纲一化坐标为X=100x/Rx，Y=100y/Rx.
一组典型的输入工况如下：环境温度t0= 313 K (即40 ℃)，摩擦副综合弹性模量E’= 226 GPa，两固体密度ρa=ρb = 7 850 kg/m3. 矿物油的环境黏度η0 = 0.08 Pa·s，Barus 黏压系数α = 21.9 GPa−1，环境密度ρ0 = 870 kg/m3. 滑滚比为S= (u1－u2)/ue = 0.5，卷吸速度ue=0.5 m/s，载荷w=50 N(pH=0.379 GPa，pH为相应的无限长线接触最大Hertz接触压力). 滚子长度L= 2.5 mm，滚子中部半径Rx=5 mm，凸度系数
$\delta $ = 2.3. 结果和讨论
用入口区等效供油膜厚hoil表征供油量，增大hoil直至充分供油润滑计算. 图2和图3给出了hoil分别取为0.2和0.25 μm的压力、端部压力以及膜厚的分布图，图4给出了充分供油条件下对应工况的计算结果. 可以看出：随着供油量的增加，端部压力的边缘效应有增大趋势[见图2(b)、图3(b)和图4(b)]；膜厚逐渐增大[见图2(c)、图3(c)和图4(c)]. 供油量的增加使得膜厚增加容易理解，值得注意的是供油量对压力边缘效应的影响. 为定量比较，取滚子中部沿卷吸速度方向即Y=0截面和滚子轴线方向即X=0截面讨论.
在滚子中部沿卷吸速度方向，随供油量的增加直至达到充分供油润滑的过程中，由图5(a)可见：二次压力峰逐渐抬高且其位置向润滑入口移动，承载区也有向润滑入口移动的趋势；由图5(b)可见：膜厚增大且油膜起始位置从靠近接触区中部向润滑入口区方向移动直至充分供油润滑时铺满入口间隙；由图5(c)可见：摩擦副间隙逐渐增大；由图5(d)可见：入口油膜的起始位置逐渐向润滑入口方向移动直至铺满入口间隙，当hoil=0.3 μm时油膜已铺满Y=0截面的摩擦副间隙. 在没有达到充分供油之前，随供油量的增加，动压效应将增强，图5给出的压力膜厚的变化趋势是动压效应增强的结果，且这一规律与已有的无限长线接触的乏油润滑特性相似[5]. 这再次表明滚子中部的润滑特性与无限长线接触弹流的润滑特性相似[1].
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图 5 供油量对Y=0截面润滑性能的影响Figure 5. Effect of oil supply on lubrication performance of Y = 0沿滚子轴线方向，随供油量的增加直至达到充分供油润滑的过程中，由图6(a)可见：中部压力略有增大但变化不显著，端部压力则显著增大逐渐出现压力的边缘效应；由图6(b)可见：膜厚的轴向颈缩趋于显著，端部闭合效应[8]逐渐建立.
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图 6 供油量对X=0截面润滑性能的影响Figure 6. Effect of oil supply on lubrication performance of X= 0边缘效应以及为消除边缘效应而提出的凸度设计是有限长线接触研究的特有内容，已有的凸度设计研究只考虑了凸形凸度几何参数、载荷速度等工况参数，以及润滑油黏度密度等物性参数，没有考虑供油量的影响[11]. 上述结果表明，在同一凸度量下供油量会影响边缘效应的强弱，进而将影响到凸度设计的结果. 随供油量的增加，压力的边缘效应趋于显著，考虑到增大凸度量可以降低压力的边缘效应[10]，因此供油量越大，需要的凸度量也有增大的趋势. 为证实上述分析，分别取为hoil=0.25 μm和充分供油，以图6的工况参数为基础，将凸度系数分别取为1、1.2、1.5和3，比较不同供油条件下凸度量对压力边缘效应的影响，计算结果见图7. 可以看出：对应于同一凸度量，充分供油时的边缘效应大于乏油工况[图7(a~c)]，Lundberg轮廓在润滑条件下均出现边缘效应[图7(a)]，因此润滑条件下应取
$\delta $ >1即Lundberg轮廓的凸度量不足，这与已有研究结论一致[7]；充分供油时略大的凸度量与乏油工况时略小的凸度量对压力的轴向分布规律影响有等效性，例如$\delta $ = 1.2时的乏油解与$\delta $ = 1.5时的充分供油解的边缘效应是相似的[图7(b~c)]. 乏油时$\delta $ = 1.5已消除边缘效应[图7(c)]，可作为当前工况的凸度量设计结果；充分供油时$\delta $ = 1.5仍有边缘效应，相应的凸度量设计结果应大于1.5. 当$\delta $ = 3.0时，因凸度量偏大，乏油时的压力分布已明显向轴向中部集中，充分供油时的轴向压力分布向轴向中部集中程度不如前者显著.![]()
图 7 不同供油量工况下凸度量对端部压力分布的影响比较(左列为乏油解hoil=0.25 μm，右列为充分供油解)Figure 7. Comparisons of the effect of crowning value on the end pressure distributions under different oil supply conditions (the left columns are the solutions of oil starvation hoil=0.25 μm，the right columns are the solutions of full oil supply)乏油时的凸度量设计结果将小于充分供油润滑的凸度量设计结果. 由于乏油润滑介于充分供油润滑与干接触之间，故这一结论也验证了他人早年的考虑弹流润滑工况时所设计的滚子凸度量会大于干接触工况下设计的滚子凸度量[6]之结论. 极端乏油将趋近于干接触，进而凸度量趋近于根据静弹性理论推得的Lundberg对数轮廓即凸度系数
$\delta $ = 1. 可见在凸度设计中，除了考虑工况参数外，还应将供油量考虑在内，这将丰富凸度设计的内容.4. 结论
a. 在滚子中部，供油量对对数滚子润滑特性的影响与无限长线接触弹流的结果相似，即随供油量的增加，在卷吸速度方向二次压力峰增大，位置向入口区方向移动；膜厚增大，油膜起始位置逐渐从靠近接触区中部向入口区方向移动直至充分供油润滑时铺满入口间隙.
b. 在滚子轴向，随乏油程度的加强，滚子端部的压力边缘效应减小且压力沿轴向分布有向中部收缩的趋势. 供油量将影响压力的边缘效应，因此，在凸度设计中除了考虑了凸形凸度几何参数、载荷速度等工况参数，以及润滑油黏度密度等物性参数外，还应考虑供油量的影响. 乏油时的凸度量设计结果将小于充分供油润滑的凸度量设计结果.
c. 随供油量的增加，膜厚沿滚子轴线方向逐渐由中部向端部增大，轴向颈缩逐步建立，直至形成膜厚的端部闭合效应达到充分供油润滑. 动压效应随供油量的减小而减弱进而降低压力的边缘效应，是乏油与充分供油工况凸度量设计结果不同的原因.
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图 5 供油量对Y=0截面润滑性能的影响
Figure 5. Effect of oil supply on lubrication performance of Y = 0
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图 6 供油量对X=0截面润滑性能的影响
Figure 6. Effect of oil supply on lubrication performance of X= 0
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图 7 不同供油量工况下凸度量对端部压力分布的影响比较(左列为乏油解hoil=0.25 μm，右列为充分供油解)
Figure 7. Comparisons of the effect of crowning value on the end pressure distributions under different oil supply conditions (the left columns are the solutions of oil starvation hoil=0.25 μm，the right columns are the solutions of full oil supply)
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